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Fréquence

En physique, la fréquence est le nombre de fois qu’un phénomène périodique se reproduit par unité de mesure du temps¹.

Ondes sinusoïdales de fréquences différentes : celle du bas a la plus haute fréquence et celle du haut, la plus basse.

La notion de fréquence s’applique de deux façons aux phénomènes périodiques ou non. D’une part, la fréquence peut désigner le nombre d’occurrences par unité de mesure, et d’autre part, la fréquence est lavariable indépendante dans l’analyse spectrale.

Lorsque le phénomène peut être décrit mathématiquement par une fonction périodique du temps, c’est-à-dire une fonction f(t) telle qu’il existe des constantes T_i pour lesquelles, quel que soit t, f(t+T_i)=f(t), alors la plus petite des valeurs positives de ces constantes T_i est la période Tde la fonction, et la fréquence est l’inverse de la période².

f=\frac1{T}

Dans plusieurs domaines technologiques, on parle de fréquence spatiale. Dans cet usage, une dimension de l’espace prend la place du temps. S’il existe une variation périodique dans l’espace, la fréquence spatiale est l’inverse de la distance minimale à laquelle on retrouve la forme identique, par exemple en imprimerie la linéature. Qu’il en existe ou pas, on peut appliquer à l’espace les règles de l’analyse spectrale, comme on le fait dans les systèmes de compression numérique des images. Dans le cas des ondes progressives, la fréquence spatiale est le quotient de la fréquence par la vitesse de l’onde.

L’idée de répétition et le temps[

La fréquence, dans ce qu’elle a de plus accessible intuitivement, mesure un phénomène périodique.

Exemple :

Un rameur fait avancer son bateau en plongeant son aviron dans l’eau dans un mouvement cyclique qui se répète régulièrement 40 fois par minute. « 40 fois par minute » est l’expression de la fréquence de ce mouvement périodique en cycles par minute.

Inversement, pour mesurer le temps, on fait appel à des phénomènes périodiques qu’on sait stables.

Exemple :

Une horloge à balancier fait avancer ses engrenages d’un pas égal à chaque oscillation d’un pendule.

C’est ainsi que le système international d’unités définit la seconde comme « la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133³ ».

En conséquence, on peut définir une fréquence comme le rapport entre deux unités de temps différentes, exprimée en général par le nombre d’unités de l’une pour une de l’autre⁴.

L’analyse spectrale

Article détaillé : analyse spectrale.

L’analyse spectrale montre que tout signal décrivant un phénomène périodique peut se décomposer en une somme de sinusoïdes, dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence du phénomène. Pour les phénomènes non périodiques, on peut considérer que leur période s’étend à l’infini, que leur fréquence est nulle, et que leur spectre est continu.

La transformation de Fourier permet de passer de la description d’un phénomène en fonction du temps à sa description en fonction des fréquences qu’il contient, appelée spectre de fréquences, et inversement.

La transformation de Fourier est un procédé mathématique qui suppose que la valeur qui décrit le phénomène est connue en tous temps et le temps existe de moins l’infini à plus l’infini. De même, elle suppose que les valeurs de la fréquence peuvent être quelconques, de moins l’infini à plus l’infini. Elle connaît donc des fréquences négatives.

Relation entre temps et fréquence

Les phénomènes ont à la fois une extension dans le temps, entre un début et une fin, et une dimension fréquentielle, dans la mesure où ils se répètent périodiquement entre ce début et cette fin. On peut les décrire par l’évolution de leur amplitude dans le temps, ou par les fréquences de leur spectre.

Une description temporelle ne contient aucune information fréquentielle ; une description fréquentielle ne contient aucune information temporelle. La transformation suppose qu’on connaisse le signal à l’infini.

Pour décrire adéquatement un phénomène, on peut le découper dans le temps en segments dont on puisse déterminer à peu près le spectre. La relation d’incertitude

$\Delta t \cdot \Delta f \ge \frac1{4 \pi}$

décrit le fait que plus la durée Δt du segment est longue, et donc plus l’incertitude sur la durée est grande, plus l’incertitude sur la fréquence Δf est faible, et vice-versa⁵.

Cette approche mathématique décrit avec précision des faits connus de l’expérience. Pour définir avec précision une fréquence, il faut observer l’oscillation pendant une longue durée. C’est ainsi que l’horloger, pour régler la fréquence du balancier, doit observer la pendule, qui compte ces oscillations, pendant une longue durée. En procédant ainsi, il obtient la moyenne de la durée des balancements, mais perd toute information sur les éventuelles irrégularités. Inversement, en observant le mouvement pendant une brève période, en soumettant l’horloge à divers mauvais traitements comme le remontage du ressort, des courants d’air ou des vibrations, il reconnaît leur conséquence éventuelle sur le balancement, mais n’acquiert aucune notion précise de sa fréquence. En acoustique musicale, on a depuis longtemps remarqué qu’on ne peut définir la tonie des sons brefs. Identifier un ton implique de discriminer précisément une fréquence fondamentale, ce qui n’est possible qu’avec un minimum de temps d’écoute.

Pulsation

Article détaillé : Vitesse angulaire.

Parmi les phénomènes périodiques, le mouvement de rotation a un intérêt particulier. La vitesse angulaire d’un mouvement de rotation s’exprime souvent, enmécanique industrielle, en tours par minute. En physique, on utilise généralement pas le tour, mais le radian comme unité d’angle, et la seconde comme unité de temps. Un tour, considéré comme unité d’angle, vaut 2 × π radians ; par conséquent, un tour par minute équivaut à $\frac{2 \pi}{60}$ , soit à peu près 0,105 rd⋅s^-1.

Quand le phénomène périodique est une rotation, la fréquence est liée à la vitesse angulaire, dite aussi pulsation ou fréquence angulaire.

ω = 2 π f

où ω (la lettre grecque omega) est la pulsation en radians par seconde, π, la constante Pi et f, la fréquence en hertz.

Les coordonnées d’un point en rotation décrivent en fonction du temps des sinusoïdes de la forme

x = a sin ( ω t) = a sin (2 π f t)

où x est l’ordonnée, ω, la pulsation, f la fréquence et t le temps.

Dans le plan de la rotation, les coordonnées par rapport au centre du point en rotation sont x = cos t et y = sin t. Dans de nombreux domaines de la physique, il est plus simple d’utiliser les nombres complexes pour cet usage. On considère que x est la partie réelle, et y, la partie imaginaire. D’après la formule d’Euler, $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} = \cos(x) + \mathrm{i}\,\sin(x)$ , où e est la constante de Neper, base du logarithme naturel et i l’unité imaginaire. Avec cette notation, la formule de De Moivre permet de traiter avec élégance les élévations à une puissance, nécessaires dans de nombreux calculs. La position d’un point en rotation en fonction du temps peut ainsi s’écrire

$p = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega \,\,t}$

où p est un nombre complexe, dont la partie réelle est l’abscisse et la partie imaginaire l’ordonnée du point, ω est la pulsation (dite aussi fréquence angulaire, ou fréquence tout court quand il n’y a pas d’ambiguïté), et t, le temps.

Dans cette expression, ω est un nombre complexe, ce qui rend compte de la phase de la rotation, c’est-à-dire de la possible différence de position entre deux points tournant à la même vitesse.

Cette notation est fréquente en analyse spectrale.

Ondes

Quand le phénomène périodique est une onde, la fréquence temporelle et la longueur d’onde sont liées par la vitesse de propagation (célérité) de l’onde.

$f=\frac{c}{\lambda}$

où f est la fréquence de l’onde (en hertz), c la célérité de l’onde (en mètres par seconde) et $\lambda\,$ , la longueur d’onde (en mètres).

Exemple :

On peut mesurer la période temporelle T d’une ondulation sur l’eau (des vagues) en se plaçant en un point de la surface de l’eau et en mesurant la durée nécessaire à une crête de vague (ou à un creux de vague) pour être remplacée par la crête suivante (ou le creux suivant) en ce point. Cette durée donne la période et en prenant son inverse on obtient la fréquence de l’ondulation.

En mesurant la durée de trajet d’une crête entre deux points de distance connue, on peut mesurer la vitesse de propagation de l’onde.

La fréquence spatiale est la distance entre deux crêtes.

Fréquence et énergie

Article détaillé : Photon.

Le rayonnement électromagnétique peut se définir soit en termes d’onde de propagation d’une perturbation électromagnétique ) la vitesse de la lumière, caractérisée par une fréquence et dont l’énergie dépend de l’amplitude, soit en termes de particules sans masse appelées photon, se déplaçant à la vitesse de la lumière.

Dans ce contexte, on désigne la fréquence par la lettre grecque ν (nu).

L’énergie d’un photon est proportionnelle à la fréquence :

E = h\cdot \nu

où h est la constante de Planck.

Symboles et unités

Fréquence

Données clés
Symbole usuel	$f$ $\omega$ (Omega) $\nu$ (nu)
Unités SI	hertz (Hz)
Dimension	$T^{-1}$
Unités de base SI	seconde inverse
Autres unités	radians par seconde, tours par minute, battements par minute
Nature	scalaire
Expressions	$f=\frac{1}{T}$ , $\omega = 2 \pi f$ , $f = \int^{\infty}_{-\infty} \operatorname S(t) \cdot e^{j \omega t} \, \mathrm dt$ , $\Delta t \cdot \Delta f \ge \frac1{4 \pi}$ , $f=\frac{c}{\lambda}$ , $E=\operatorname h \cdot \nu$

En électromagnétisme, physique quantique et relativité, on désigne la fréquence par $\nu$ , la lettre nu de l’alphabetgrec. On y parle aussi de fréquence pour la quantité $\omega=\frac{2 \pi}{T}$ , avec la lettre grecque oméga.

Dans la technologie et l’ingénierie, on utilise plus couramment la lettre f, et on appelle la grandeur 2πf pulsationou vitesse angulaire.

Dans le système international d’unités dit SI, l’unité de temps est la seconde dont le symbole est s. La fréquence est alors en hertz dont le symbole est Hz (unité SI), et on a 1 Hz = 1 s^-1.

Le hertz ne s’utilise que pour les signaux périodiques. Lorsque le compte d’occurrences par seconde concerne un phénomène aléatoire, on le note explicitement ; par exemple en physique statistique ou en thermodynamique, on compte les « collisions par seconde ». Ainsi, le nombre de désintégrations d’un radionucléide par seconde, représentant son activité, s’exprime en becquerels, et non en hertz⁶.

En mécanique, en médecine, en musique, et en général dans des domaines où la mesure de la fréquence ne sert qu’à des comparaisons, on exprime souvent la fréquence « par minute » : tours par minute (voir vitesse angulaire), pouls en battements par minute, comme la graduation du métronome.

Applications

Dans le domaine de la physique ondulatoire on parlera d’une fréquence :

d’oscillation mécanique
de vibration (ressort, corde vibrante, vibration du réseau cristallin, vibration de molécules, etc.),
d’oscillation acoustique dans le domaine audible (sonore) ou inaudible (infrasons, ultrasons, hypersons, etc.)
d’oscillation électromagnétique (lumière visible, infrarouge, ultraviolet, etc.).

Dans le traitement du signal numérique, la fréquence d’échantillonnage détermine la bande passante admissible pour le système.

Dans les technologies numériques synchrones, les circuits communiquent entre eux en suivant un signal d’horloge dont la fréquence détermine les capacités de transfert du système, toutes choses étant égales par ailleurs.

Mesure de la fréquence

Article détaillé : Fréquencemètre.

Un fréquencemètre est un instrument de laboratoire destiné à mesurer la fréquence de signaux électriques périodiques simples. L’appareil détecte les occurrences d’une transition caractéristique de ces signaux, et compare leur fréquence à celle d’un oscillateur aussi stable que possible appelé base de temps :

soit en comptant les occurrences dans un intervalle de temps correspondant à un nombre déterminé de périodes de la base de temps,
soit en comptant le nombre de périodes de la base de temps dans l’intervalle entre un nombre déterminé de transitions,
soit, indirectement, en mélangeant un signal dérivé des transitions caractéristiques à un autre, de fréquence proche, constitué à partir de la base de temps, et en mesurant ensuite, par l’un ou l’autre des moyens précédents, la fréquence des battements qui s’ensuivent.

En musique

Tempo

Fréquence	Note	Intervalle	Calcul
110	La1	Octave	440/4
220	La2	Octave	440/2
440	La3	Octave	(référence)
550	Do#4	Tierce Majeure	440 + 110
660	Mi4	Quinte juste	440 + 220
990	Si4	Quinte juste (Mi-Si)	660 + 330

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